Les schtroumpfs noirs

Décrire n’est pas expliquer. Une fois admis ou supposé que le nombre d’entrées en réanimation, le nombre de décès, le nombre de tests positifs etc. suit une croissance exponentielle, il s’agit ensuite de pouvoir expliquer cette croissance exponentielle. D’où vient l’exponentielle et comment peut-on parvenir à la reproduire ? Et surtout, du point de vue de la santé publique, à la réduire. Pour comprendre la manière dont se pose le problème, il est à la fois utile et amusant de relire la célèbre bande dessinée de Peyo, Les Schtroumpfs noirs (1963), qui relate la propagation d’une épidémie.

Peyo, Les Schtroumpfs noirs, 1963 © Éditions Dupuis, p. 5. Le début de l’épidémie.

Alors que les schtroumpfs vivent tranquillement et en paix dans le pays Schtroumpf, une mouche noire surgit d’on ne sait d’où et vient piquer l’un des schtroumpfs. A la suite de cette piqûre, le schtroumpf bleu change de couleur et de personnalité et devient noir et méchant. Il a été contaminé. Le grand Schtroumpf identifie la mouche « Bzz » (« jadis il y eut un cas semblable ») mais ne rappelle plus « la composition du remède qu’on avait schtroumpfé »). L’histoire des  Schtroumpfs noirs va être celle de la course contre la montre pour trouver le remède à la mouche Bzz pendant que l’épidémie progresse, avant que la totalité des schtroumpfs ne soit contaminée. Différents remèdes (vaccins) vont être testés par le grand Schtroumpf jusqu’à trouver le « bon » remède, celui qui permettra aux schtroumpfs noirs de redevenir bleus, i.e. d’être guéris. Mais pour cela, ce que comprend le grand Schtroumpf, il faudra « capturer la mouche Bzz et l’étudier » car « elle schtroumpfera peut-être le remède » (p. 13).

Peyo, Les Schtroumpfs noirs, 1963 © Éditions Dupuis, p. 10. La croissance de l’épidémie.

Cette remarquable métaphore d’une épidémie permet de comprendre tout de suite ce qui est en jeu dans la modélisation mathématique des épidémies : l’évolution des tailles respectives des groupes contaminés et des groupes non contaminés. C’est l’idée de base des premiers modèles de diffusion des épidémies, mis au point dans les années 1920 après la grippe espagnole : partitionner la population entre groupes, ou « compartiments », en l’occurrence trois compartiments, qui divisent la population selon les états possible (des schtroumpfs) :

  • le compartiment des schtroumpfs bleus, non contaminés mais pouvant l’être, ou compartiment « S » (pour « sain » ou « susceptible d’être infecté »)
  • le compartiment des schtroumpfs noirs, les schtroumpfs infectés, ou compartiment « I » (pour « infecté »)
  • le compartiment des schtroumpfs redevenus bleus car guéris, ou compartiment « R » (pour « rétabli », guéri).

On les appelle les modèles SIR, ou « modèles à compartiments », à la suite des travaux du lieutenant-colonel Anderson Gray McKendrick, médecin militaire et épidémiologiste, et du biochimiste William Ogilvy Kermack, qui ont été les premiers à modéliser mathématiquement la diffusion des épidémies par des compartimentations de population dans leur article de 1927, « une contribution à la théorie mathématique des épidémies ». Le modèle de Kermack-McKendrick de 1927 est devenu la base des modèles mathématiques d’épidémie dans le monde entier.

On peut évidemment imaginer d’autres compartiments. Par exemple, à la page 17, un schtroumpf noir se peint en bleu et devient un schtroumpf noir asymptomatique : il peut contaminer les autres mais les autres ne le savent pas. Dans la modélisation mathématique, on créerait un compartiment « C » (pour « carriers »), les porteurs de la maladie qui n’en ont pas les symptômes. On peut aussi créer un compartiment « M » pour ceux qui auraient une immunité à la naissance, un compartiment « Q » pour ceux qui sont mis en quarantaine. On peut aussi retirer des compartiments. Par exemple dans le cas du HIV, le compartiment « R » n’existe pas (personne jusqu’à aujourd’hui ne « guérit » du Sida). Etc.

Peyo, Les Schtroumpfs noirs, 1963 © Éditions Dupuis, p. 17. Un schtroumpf noir asymptomatique.

Le récit Les Schtroumpfs noirs montre comment le compartiment « I » peut croître à grande vitesse par rapport au compartiment « S », amenant l’ensemble du village Schtroumpf au bord de l’implosion. Plus il y a de schtroumpfs noirs et plus il y en aura ! Il s’agit bien d’une course de vitesse engagée par le village schtroumpf sous l’égide du grand Schtroumpf, avec un double objectif, empêcher la trop forte croissance du compartiment « I » des schtroumpfs noirs (on peut imaginer que le nombre de lits d’hôpitaux schtroumpfs est limité), le temps de procéder à la recherche du remède qui stoppera l’épidémie. Il faut donc impérativement connaître les règles de changements entre états : comment passe-t-on de S à I etc.

La réponse apparaît immédiatement : un schtroumpf noir peut mordre un schtroumpf bleu quand il le croise. Donc plus un schtroumpf noir croisera de schtroumpfs bleus, et plus l’épidémie augmentera, à la condition qu’il le morde. Pour le dire autrement, il s’agit de déterminer la probabilité de rencontre entre schtroumpfs bleus et schtroumpfs noirs et la probabilité que, une fois la rencontre faite, un schtroumpf noir morde un schtroumpf bleu (que le virus passe d’un individu à l’autre). Ces deux probabilités donneront accès à la variation du nombre d’individus par compartiments. Intuitivement et sans mathématiques, on comprend donc que le nombre de contaminés dépend à la fois de la probabilité de rencontre (relations sociales) et de la probabilité de transmission (contagiosité). De nombreux sites Web de simulation de la progression du Covid-19, créés depuis le début de la crise sanitaire, ont rendu aujourd’hui facilement accessibles à tous le résultat de simulations à partir de ces probabilités (par exemple CoVprehension). Sur ces sites extrêmement bien faits, chacun peut explorer l’effet sur la population totale d’un petit changement de ces probabilités. Chaque jeu d’hypothèse permettra de retrouver cette fameuse loi dont nous avons parlé dans notre billet précédent, le temps de doublement des individus infectés, qui est le signe de la croissance exponentielle de l’épidémie.

L’écriture mathématique des relations entre S, I et R à un moment donné (sachant que 100% de la population se répartit entre ces trois compartiments) permet d’obtenir des simulations : on fait avancer le modèle étape par étape, date par date. Le système dynamique prend la forme d’équations différentielles, c’est-à-dire que le modèle est déterministe. C’est la raison pour laquelle Macron a pu dire le 29 octobre : « quoi que nous fassions, près de 9000 patients seront en réanimation à la mi-novembre ». Les mots « quoi que nous fassions » font référence au caractère déterministe du modèle mathématique de l’épidémie dont l’exponentielle est la trace descriptive.

Peyo, Les Schtroumpfs noirs, 1963 © Éditions Dupuis, p. 18. Face à l’augmentation des schtroumpfs noirs, le village schtroumpf en difficulté.

Concluons. Après la crise financière de 2008, j’avais attiré l’attention sur le rôle majeur qu’avaient pris les modèles mathématiques dans le déclenchement de la catastrophe financière, dans l’ouvrage Le Virus B. Crise financière et mathématiques (Seuil, 2009, résumé ICI). J’y montrais que ces modèles mathématiques se transformaient, dans l’esprit de beaucoup, en modèles mentaux. Aujourd’hui, il est intéressant de constater à nouveau le rôle majeur des modèles mathématiques dans la gestion de la crise (on pourrait imaginer une suite au livre précédent, quelque chose comme Le Virus C. Crise sanitaire et mathématiques !). Aussi, à la question que tout le monde se pose « mais qu’ont donc à l’esprit ceux qui nous gouvernent quand ils prennent des décisions que personne ne comprend ou n’accepte », je répondrai : des modèles mathématiques devenus, par la magie de la disparition des hypothèses complexes dans leur usage par les politiques, des modèles mentaux. Et chacun sait qu’un modèle mental est difficile à changer… Plus difficile en tout cas qu’un modèle mathématique !

Ce rôle des modèles mathématiques dans les prises de décision n’est pas propre à la finance ou à l’épidémiologie. Aujourd’hui, tous les domaines scientifiques dans lesquelles des décisions publiques sont prises (climat, environnement, énergie etc.) sont le lieu d’un usage intensif de modèles mathématiques, avec leur lot de conventions de quantification et leurs règles du jeu. C’est la raison pour laquelle, dans un livre d’épidémiologie mathématique, le mathématicien Fred Brauer rappelait:

Le message que cela suggère aux mathématiciens est que les stratégies de contrôle fondées sur des modèles erronés peuvent être dangereuses, et qu’il est essentiel de distinguer entre les hypothèses qui simplifient mais ne changent pas substantiellement les effets prédits, et les hypothèses erronées qui font une différence importante.

A la fin de l’histoire, le grand Schtroumpf trouve un remède. Une substance issue d’une plante, le pollen de tubéreuse, guérit les schtroumpfs contaminés. Tous les schtroumpfs noirs vont pouvoir être guéris, les schtroumpfs bleus ne seront plus contaminés et la vie pourra reprendre normalement au village schtroumpf. Mais le récit Les Schtroumpfs noirs montre que, avant le grand remède, c’est le grand désordre !

Peyo, Les Schtroumpfs noirs, 1963 © Éditions Dupuis, p. 16.

(à suivre)

 


Christian Walter

Actuaire agrégé, chercheur en philosophie et sciences sociales, spécialiste de la finance / Fully qualified actuary, my research activities relate to financial modelling, history of financial thought, epistemology of finance and ethics of finance.

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1 réponse

  1. Boussard dit :

    Excellent et très pédagogique. Une ombre au tableau cependant : on ne devrait jamais se servir de modèles non testé, et qui n’ont pas fait la preuve qu’ils étaient capables de reproduire la réalité… J’ai peur que dans la cas du Covid (et bien d’autre!) ce précepte ait été oublié !

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