Les marchés fractals / Fractal markets

Ouvrage de Jacques Lévy Véhel et Christian Walter

Les marchés fractal

Avant-propos de Benoît Mandelbrot, cité in extenso ci-dessous

 


4e de couverture


« Le marché est très calme, sauf quand il bouge beaucoup » disent les professionnels. Les marchés boursiers semblent se caractériser par des grandes fluctuations, des sauts qui apparaissent brusquement alors qu’on ne les attend pas, tandis que l’on passe son temps à attendre des fluctuations moyennes qui n’arrivent jamais. De plus, les fluctuations importantes se succèdent généralement, de même que les périodes de calme plat. Ce phénomène de discontinuités et de concentrations existe depuis toujours sur les marchés, mais a été longtemps ignoré dans la gestion des risques financiers. Il prend une nouvelle importance aujourd’hui en raison du rôle croissant des marchés financiers dans l’économie, et appelle une nouvelle compréhension des risques : les marchés ont une structure fractale de risque, différente de celle utilisée jusqu’à présent dans les modélisations financières.

Ce livre propose une approche des marchés qui tient compte de ce caractère fractal. En se fondant sur des travaux mathématiques récents, il développe une modélisation adaptée à ces phénomènes. Il conduit à reconsidérer la notion d’efficacité informationnelle d’un marché, et aussi définir une mesure plus fine du risque, qui dépend alors de deux paramètres : le premier mesure la volatilité classique en la généralisant, et le second introduit, en la quantifiant, la probabilité de rupture des cours.

Des exemples concrets (Value-at-Risk, évaluation des actifs, gestion des portefeuilles) font apparaître l’intérêt de cette modélisation plus riche : pouvoir prendre davantage de risque en le contrôlant mieux, et donc améliorer la performance finale.

Ce livre n’est pas réservé aux mathématiciens. Il met l’accent sur la mise en place concrète des divers outils proposés : ainsi, les procédures de simulation, estimation et gestion d’actifs sont décrites en détail, et de nombreux graphiques et résultats numériques illustrent les différents aspects de l’étude. Certains compléments de mathématiques sont apportés si nécessaire.


Avant-propos de Benoît Mandelbrot (p. 1-2)


AVANT-PROPOS ET INTRODUCTION AU RUGUEUX FACE AU PRESQUE PLAT

Le livre de mes amis Lévy-Vehel et Walter était très attendu, et le recommander au public francophone est pour moi un très grand plaisir. Il ne s’adresse pas seulement aux financiers mais aussi aux ingénieurs. De plus, il devrait aider les probabilistes et autres mathématiciens à se libérer d’une certaine approximation,  selon laquelle  les prix financiers suivent le mouvement brownien. Cette approximation est ancienne (elle date de 1900), et bien commode, mais elle est grossière et sous-estime les risques de façon extrêmement dangereuse.

Voici la question de base. Le monde des prix financiers est-il brownien, comme  Bachelier le postula en 1900 ? Est-il fractal, tel que les décrivent mes modèles successifs,  que j’appelle désormais mésofractal (1963),  unifractal (1965), et multifractal (1997) ? Ou n’est-il pas tout a fait mais « presque » brownien,  comme le postulent de très nombreux auteurs.

N’ayant pas attendu l’âge pour avoir l’esprit philosophique, j’aimerais placer ladite querelle dans un cadre général, fractal et multifractal. Sa forme d’origine fut fixée en 1975 par mon livre Les objets fractals – qui (sans utiliser le terme) parlait des multifractales au Chapitre X.  Mais  tout a évolué, et il est bon de tout reprendre a la base, en remontant a la question du « plat face au rugueux ». C’est là une des oppositions en quelque sorte « primaires » que l’expérience de nos sens nous impose, non seulement au sujet de la nature mais aussi au sujet de la culture, cette dernière étant conçue dans un sens large qui réunit tous les apports de l’homme. Elle inclut donc les champs carrés de la vallée du Nil – source du mot “géo-métrie” – et les tables rondes  et carrées.  Mais la culture inclut aussi les fluctuations de l’internet et des Bourses, structures très complexes dues aux actions d’agents humains qui accumulaient sans aucun plan. Des plans finiront bien par être construits, mais ni la science ni la pratique ne peuvent attendre. On a tout de suite besoin d’outils pour décrire le rugueux.

Il est intéressant de constater qu’ »au commencement » le plat en quelque sorte naturel se réduisait à un lac sans vent ni vie. Le plat exact n’existait que comme une approximation idealisée du plat réel soumis à de légères perturbations. Le rond se réduisait presque à la pleine lune, à l’iris et à la pupille des yeux. Par contre, le rugueux, lui, se trouvait partout. N’empêche, la géométrie partit du plat et du rond en ajoutant d’autres structures  qu’elle se constitua en son sein.

Revenons à l’objet du livre qu’ouvre cet avant-propos. Autrefois l’économie et la finance approximaient tout par des tendances linéaires, une forme extrême du  plat. Puis une économie mathématique approxima tout par du lisse et l’économétrie  (telle qu’on la pratiqua) approxima tout par le linéaire avec erreurs gaussiennes, ou tout au plus un autre hasard qui disparait vite dès qu’on prend des moyennes pour revenir à une “norme”. Mais un lisse corrigé d’un velouté de peau de pêche est spécial, ce n’est pas le seul « état” possible du hasard, mais seulement ce que j’ai appelé « hasard bénin”. Par contre, cinquante ans de travaux et écrits m’ont de plus en plus convaincu que, pour comprendre le passé et se preparer au futur, il est nécessaire d’aller au delà. Le hasard bénin ne suffit ni pour dompter le “vrai” rugueux que la nature offre spontanément à notre désespoir ou délectation, ni le “vrai” rugueux que la culture ne cesse d’ajouter. Par exemple, l’internet et les Bourses impliquent un “hasard sauvage » (terme délibérément provocateur ). En somme, c’est pour dompter le rugueux sauvage que j’ai conçu la géométrie fractale.

Ce livre est une contribution très importante à cet effort et ne manquera pas d’être extrêmement utile.

 


Une introduction (extrait du livre et compléments)


Le concept d’efficacité informationnelle des marchés, qui réactualise la notion de « marché parfait » du XIXe siècle, se trouve au cœur de la théorie financière moderne, et représente un des aspects de l’équilibre économique. De manière la plus générale, la théorie des marchés de capitaux efficaces au sens informationnel représente l’application de la théorie de l’équilibre concurrentiel aux marchés financiers. Nous voudrions présenter ce concept dans ses rapports avec les objets fractals introduits par Benoît Mandelbrot en 1975.

Ces rapports sont de deux ordres.

  1. D’une part, ce concept draine avec lui un certain nombre d’aspects probabilistes, éléments non formellement contenus dans le concept lui-même, mais nécessaires à sa vérification expérimentale. Il s’agit essentiellement de la description gausso-markovienne des variations boursières.
    • On montrera comment ces éléments probabilistes font intervenir les fractales, c’est-à-dire dans quel lieu conceptuel l’on trouve des fractales dans les définitions actuelles de l’efficacité informationnelle des marchés.
    • Ceci nous amènera à entreprendre une relecture du concept d’efficacité informationnelle en s’intéressant essentiellement aux composantes probabilistes des définitions, et plus précisément à la nature du terme d’aléa utilisé dans les modélisations probabilistes des variations boursières.
  2. D’autre part, le concept, sous sa forme gausso-markovienne, a été très largement testé dans la recherche depuis son introduction en 1970. Par rapport aux observations théoriques qui auraient dues être constatées expérimentalement sur les marchés boursiers, un grand nombre d’anomalies par rapport à la forme gausso-markovienne de l’efficacité informationnelle sont apparues dans pratiquement tous les compartiments des marchés, sur la plupart des fréquences d’observations des bourses (quotidienne, intra-quotidienne, mais aussi hebdomadaire, mensuelle etc.). Ces anomalies de mesure, très variées dans leurs différents aspects et leurs mises en évidence, ont conduit à l’élaboration de nouvelles approches méthodologiques des modélisations des variations boursières, pour mieux prendre en compte la réalité observée du comportement des marchés. Certaines de ces approches font intervenir plus ou moins implicitement des concepts présents dans les fractales, d’autres, en revanche, sont assez éloignées des caractéristiques des fractales.
    • Nous présenterons de manière synthétique les principales anomalies constatées dans la littérature, en centrant notre attention sur la violation des hypothèses probabilistes, plutôt que sur les problèmes sous-jacents aux hypothèses économiques. Ceci nous permettra d’introduire implicitement les raisons heuristiques pour lesquelles des processus stochastiques comme les processus fractals nous semblent de bons candidats pour la modélisation des trajectoires boursières.
    • Nous présenterons aussi les principales voies de la recherche active dans ce domaine du traitement des variations boursières, afin de mieux situer notre proposition dans l’ensemble des courants de modélisation existants aujourd’hui. Nous proposerons pour cela une catégorisation des courants en grandes familles.

Ces deux perspectives sur les rapports directs ou indirects entre l’efficacité informationnelle des marchés et les fractales nous permettront de mieux faire comprendre de quelle manière le concept d’un marché efficace dans le sens informationnel est relié à la géométrie fractale de Mandelbrot, et donc de quelle manière ce concept pourrait spontanément être étendu, des catégories probabilistes actuelles qui le sous-tendent, aux structures fractales plus générales.

  • Nous présenterons par exemple en quoi les généralisations fractales du mouvement brownien pourraient avantageusement remplacer l’usage actuel du classique mouvement brownien massivement employé depuis Bachelier (1900) dans la théorie financière moderne.

Insistons à nouveau : pour éviter toute ambigüité, nous précisons que nous entreprenons une relecture du concept d’efficacité informationnelle à partir d’une grille probabiliste et non directement économiste. Nous rappelons maintenant ci-après quelles sont les grandes lignes des manières contemporaines de considérer l’efficacité informationnelle d’un marché.

Compléments au livre :

« Philosophie de la finance : l’exemple de l’efficacité informationnelle d’un marché », in Gilles Campagnolo et Jean-Sébastien Gharbi (dir.), Philosophie économique. Un état des lieux, Éditions matériologiques, 2017, p. 579-625.

« Les quatre causes de l’efficacité informationnelle des marchés », Finance & bien commun / Finance & common good, 23 (3), 2005, p. 107-115. DOI : 10.3917/fbc.023.0107

« Les martingales sur les marchés financiers. Une convention stochastique ? » Revue de synthèse, 127 (2), 2006, p. 379-391. DOI : 10.1007/BF02972107

Risques financiers extrêmes et allocation d’actifs (avec Olivier Le Courtois), Paris, Economica, coll. « Finance », 2012, 368 pages. Ce livre généralise l’approche présentée dans Les marchés fractals aux cas discontinus non fractals.

On trouvera aussi une présentation du livre sur le site Les philosophes.fr [en ligne], mis en ligne le 30/01/2020 (cliquer sur le lien).

 

 


Christian Walter

Actuaire agrégé, chercheur en philosophie et sciences sociales, spécialiste de la finance / Fully qualified actuary, my research activities relate to financial modelling, history of financial thought, epistemology of finance and ethics of finance.

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